- συνάρτηση
- Έστω A, B σύνολα, διαφορετικά από το κενό. Ας είναι ακόμα σ μια σχέση από το Α στο Β, σ: A > Β. Αν η σχέση αυτή είναι μονοσήμαντη, τότε (και μόνο) λέμε ότι είναι μια συνάρτηση από το Α στο Β. Το σύνολο των x από το Α, που είναι τέτοια, ώστε να υπάρχει ένα μοναδικό y από το Β με x σy λέμε ότι είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σ (και φυσικά είναι ένα υποσύνολο, όχι αναγκαία γνήσιο, του Α). Το σύνολο Β λέμε ότι είναι το σύνολο, στο οποίο η συνάρτηση σ παίρνει τις «τιμές» της· το στοιχείο y του Β, που είναι τέτοιο ώστε για το στοιχείο x του Α να ισχύει xσy συμβολίζεται με σ(x) και ονομάζεται: η τιμή της σ, που αντιστοιχεί στο στοιχείο x από το A. O «τύπος» σ(x) ονομάζεται: ο τύπος της τιμής της συνάρτησης σ. Αν D είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης σ: A→Β, τότε συνηθίζεται να συμβολίζουμε τη σ και έτσι: σ(x), x ∈ D είτε και: y = σ(x), x ∈ D.
Πρέπει να σημειώσουμε ιδιαίτερα ότι δεν έγινε καμιά ξεχωριστή μνεία για τη «φύση» των στοιχείων των συνόλων Α, Β. Έτσι ο ορισμός έχει μια εξαιρετική γενικότητα· μπορεί π.χ. το Α να είναι ένα σύνολο από δ ζεύγη, από δ τριάδες κλπ.· τότε μπορούμε να λέμε ότι η συνάρτηση σ είναι μια συνάρτηση με δυο, με τρεις κλπ. «μεταβλητές». Αν Rμ, Rν είναι οι ευκλείδειοι (πραγματικοί) χώροι με διάσταση, αντίστοιχα, μ και ν τότε μπορεί να νοήσουμε συναρτήσεις από το Rμ στο Rν· μια τέτοια συνάρτηση είναι, όπως λέμε, μια συνάρτηση μ μεταβλητών, που παίρνει τις τιμές της μέσα στο χώρο («των ν μεταβλητών») Rv. Αν το πεδίο ορισμού μιας τέτοιας συνάρτησης σ είναι D, τότε τη συμβολίζουμε έτσι: y = σ(x1 x2, ..., xμ), (x1, x2, ..., xμ) ∈ D (η «τιμή» y είναι στοιχείο του χώρου Rν).
Από τα βασικά μαθηματικά είναι γνωστή η περίπτωση, ιδιαίτερα, μ = ν = 1· έχουμε τότε πραγματική συνάρτηση με μια πραγματική μεταβλητή. Πχ. 1) y = x2, x ∈ R · 2) y = ημx, x ∈ R·3) y =√(x-1)(2-x),1 ≤ x ≤ 2 κλπ. Από τα βασικά μαθηματικά είναι επίσης γνωστές και πραγματικές συναρτήσεις με 2 και περισσότερες μεταβλητές, δηλαδή με μ = 2,3,… και ν=1.
Π.χ.
(η συνάρτηση που χαρακτηρίζει το εμβαδόν τρίγωνου με βάση x και ύψος y). Αν σ: A → Β είναι μια συνάρτηση, τότε αυτή ως σχέση (που είναι) έχει μια (μοναδική) αντίστροφη σχέση, που τη συμβολίζουμε σ-1 (Β → Α)· αυτή η σχέση σ-1 δεν αποκλείεται να είναι μια συνάρτηση. Αν αυτό συμβαίνει, τότε λέμε ότι η σ-1 είναι η αντίστροφη συνάρτηση της σ. και είναι φανερό, ότι τότε η αντίστροφη σχέση της σ-1, δηλαδή η σχέση (σ-1)-1, είναι μια συνάρτηση και μάλιστα η ίδια η σ, (σ-1)-1 = σ. Έτσι, π.χ., της συνάρτησης y = x2, ο ≥ x < + 
υπάρχει η αντίστροφη και είναι η συνάρτηση: y = =√x, 0 ≤ x < + .
Μια συνάρτηση, ανάλογα με ορισμένες ειδικές ιδιότητες, που μπορεί να έχει, παίρνει έναν ειδικό χαρακτηρισμό, π.χ. πραγματική, μιγαδική, συνεχής, άρτια, περιττή, αύξουσα, αναλυτική κλπ. Έχουμε έτσι πολλά «είδη» συναρτήσεων, που παίζουν ιδιαίτερο ρόλο τόσο στα ίδια τα μαθηματικά, όσο και στις εφαρμογές τους· δίνουμε παρακάτω τους σχετικούς ορισμούς για μερικά από αυτά τα είδη συναρτήσεων: έστω φ: Α→Β μια συνάρτηση (Α νοείται εδώ το πεδίο ορισμού της φ)· λέμε ότι η φ είναι πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής x (έστω), αν τα σύνολα A, B είναι υποσύνολα του συνόλου R, των πραγματικών αριθμών· αν στην προηγούμενη διατύπωση αντί R νοήσουμε το σύνολο C, των μιγαδικών αριθμών, τότε λέμε ότι η φ είναι μια μιγαδική συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής. Αν Α είναι το σύνολο R, είτε, πιο γενικά, το C, εκτός (το πολύ) από ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο σημείων και υπάρχει Τ ≠ 0, έτσι ώστε να ισχύει φ(x + Τ) = φ(χ) για κάθε χ από το Α, τότε λέμε ότι η φ είναι περιοδική με μια περίοδο της τον αριθμό Τ. Φανερό είναι ότι μια περίοδος είναι και κάθε αριθμός νT (ν = 1, 2, ...). Η ελάχιστη από τις περιόδους μιας περιοδικής συνάρτησης είναι ένας θετικός αριθμός, που λέμε ότι είναι η περίοδος της. Η φ λέγεται αλγεβρική, αν κατά το «σχηματισμό» της γίνονται μόνο «αλγεβρικές» πράξεις· στην αντίθετη περίπτωση λέγεται υπερβατική. Έτσι κάθε πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ορίζει μια αλγεβρική συνάρτηση, ενώ οι συναρτήσεις με τύπους ex, logx, ημx κλπ. δεν είναι αλγεβρικές, είναι υπερβατικές. Αν A, B είναι τοπολογικοί χώροι, λέμε ότι η φ είναι συνεχής, αν για κάθε ανοιχτό σύνολο U του Β η αντιστροφή του εικόνα φ-1 (Β) είναι ανοιχτό σύνολο στον Α.
Μια πραγματική συνάρτηση φ μιας πραγματικής μεταβλητής φ λέμε ότι είναι διαφορίσιμη. Η έννοια του να είναι μια συνάρτηση διαφορίσιμη σ’ ένα σημείο x0 (έστω) του Α, αν υπάρχει στο x0 η παραγωγός της και είναι πραγματικός αριθμός· αν αυτό συμβαίνει σε κάθε σημείο του Α, τότε λέμε ότι η συνάρτηση φ είναι διαφορίσιμη. Η έννοια του να είναι μια συνάρτηση διαφορίσιμη επεκτείνεται και για γενικότερες συναρτήσεις (πραγματικές είτε μιγαδικές με μια ή περισσότερες μεταβλητές κι ακόμα πιο γενικές).
Αν η συνάρτηση φ είναι πραγματική μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σ’ ένα διάστημα Α (έστω), λέμε ότι είναι αναλυτική σ’ ένα σημείο x0 του Α, αν υπάρχει περιοχή U του σημείου x0 (U 
Α), έτσι ώστε η φ να παρασταίνεται στην περιοχή U με μια σειρά του Τέιλορ με κέντρο της το σημείο x0· αν αυτό συμβαίνει για κάθε σημείο χ του Α, τότε λέμε ότι η φ είναι αναλυτική.
Ο προηγούμενος ορισμός διατυπώνεται και στην περίπτωση που η φ είναι μιγαδική συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής· απαιτείται τότε το πεδίο ορισμού της να είναι ένας «τόπος». Ο ορισμός διατυπώνεται και για ακόμα πιο γενικές συναρτήσεις.
Μια συνάρτηση φ μιας μεταβλητής χ (πραγματική είτε μιγαδική) λέμε ότι είναι μια πλεγμένη συνάρτηση, αν ορίζεται από μια εξίσωση σ(x, y)= 0. Ο ορισμός διατυπώνεται και για πιο γενικές συναρτήσεις. Αν η φ είναι πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής και το πεδίο ορισμού της ένα διάστημα, τότε λέμε ότι είναι αύξουσα (είτε: μη φθίνουσα) αντίστοιχα φθίνουσα (είτε: μη αύξουσα), εάν (και μόνο) για κάθε x1 x2 από το Α με x1 < x2 ισχύει φ(x1) ≤ φ(x2) αντίστοιχα φ(x1 ≥ φ(x2). Αν στον προηγούμενο ορισμό αντί των ≤, ≥ έχουμε αντίστοιχα <2’, τότε λέμε ότι η φ είναι γνήσια αύξουσα αντίστοιχα γνήσια φθίνουσα.
Η φ λέμε ότι είναι μονότονος αντίστοιχα γνησίως μονότονος, αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα, αντίστοιχα γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα.
Η φ λέμε ότι είναι της κλάσης cv, αν έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι και ν τάξης. Ειδικά η κλάση C0 είναι κλάση των συνεχών συναρτήσεων.
Αν η φ είναι πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, τότε λέμε ότι είναι ολοκληρώσιμη, αν υπάρχει το (υπό κάποια έννοια) ολοκλήρωμα της και είναι πραγματικός αριθμός (αυτός ο τελευταίος περιορισμός μπορεί και να παραλείπεται). Έτσι έχουμε συναρτήσεις ολοκληρώσιμες κατά Ρίμαν, κατά Λεμπέσκ κλπ.
Μια συνάρτηση φ, πραγματική είτε (γενικότερα) μιγαδική με το πεδίο ορισμού της Α συμμετρικό ως προς το σημείο ο (δηλαδή για κάθε x από το Α και το -x v’ ανήκει στο Α) λέμε ότι είναι άρτια αντίστοιχα περιττή, εάν (και μόνο) ισχύει φ(-x) = φ(x) αντίστοιχα φ(-x) = -φ(x) για κάθε χ από το Α.
Μια πραγματική συνάρτηση φ(x1, x2, ... xν), (x1, x2,..., xν) ∈ Α, όπου Α ένας τόπος του χώρου των ν μεταβλητών x1 x2,..., xν (ν ≥ 2) λέμε ότι είναι αρμονική, εάν (και μόνο) υπάρχουν οι δεύτερες μερικές της παράγωγοι φx1,x1,, φx2x2,..., φxνxν και ισχύει: φx1x1, +φx2x2 + ... + φxνxν = 0 («διαφορική εξίσωση του Λαπλάς»).
συναρτήσεις του Λεζάντρ. Ονομάζεται έτσι κάθε συνάρτηση, που επαληθεύει τη «διαφορική εξίσωση του Λεζάντρ»:
(1 - x2) y’’ -2xy’ + ν (ν + 1) y = 0.
Οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται και «σφαιρικές συναρτήσεις». Αν η παράμετρος ν είναι φυσικός αριθμός, τότε οι συναρτήσεις του Λεζάντρ είναι πολυώνυμα («πολυώνυμα του Λεζάντρ»). Αν Ρν (χ) είναι ένα πολυώνυμο του Λεζάντρ, τότε κάθε πολυώνυμο του Λεζάντρ, δίνεται από τον τύπο: (1 - x2) μ/2 [Ρν(χ)](μ), όπου το σύμβολο (μ) δηλώνει τη μυοστή παράγωγο του Ρν (χ). Μερικά πολυώνυμα του Λεζάντρ είναι τα εξής:
* * *η / συνάρτησις, -ήσεως, ΝΜΑ [συναρτῶ]η ενέργεια και το αποτέλεσμα τού συναρτώ, σύνδεση («συνάρτησις τῶν φλεβῶν καὶ νεύρων», Αριστοτ.)νεοελλ.1. μτφ. αμοιβαία εξάρτηση ενός πράγματος από ένα άλλο, αλληλεξάρτηση («το ότι αρρώστησε είναι συνάρτηση τής ακατάστατης ζωής που έκανε μέχρι τώρα»)2. μαθημ. η αντιστοίχηση ανάμεσα στα στοιχεία ενός συνόλου Χ και τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου, Υ, έτσι ώστε κάθε στοιχείο τού Χ να αντιστοιχεί σε ένα και μόνο στοιχείο τού Υ3. φρ. α) «ειδικές συναρτήσεις»μαθημ. κατηγορία συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται συχνά στα μαθηματικά, στη φυσική και σε άλλους κλάδους τής επιστήμης και τής τεχνολογίας και που προκύπτουν ως λύσεις διαφορικών εξισώσεωνβ) «στοιχειώδεις συναρτήσεις»μαθημ. οι πολυωνυμικές, ρητές, εκθετικές, λογαριθμικές, υπερβολικές, τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τουςγ) «χώροι συναρτήσεων»μαθημ. χώροι τών οποίων στοιχεία είναι συναρτήσειςαρχ.1. συμπλοκή, συνδυασμός λέξεων2. (σχετικά με μηχανήματα) συναρμογή3. (λογ.) α) το αναγκαίο αποτέλεσμαβ) (για όρους υποθετικών προτάσεων) επαλήθευση συμπεράσματος που βασίζεται σε υποθέσεις.
Dictionary of Greek. 2013.
